Tao Liu, Shengxia Gong, Xinhao Liao, Seculiere dynamiek van een testdeeltje verstoord door een Miyamoto-Nagai-schijf, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Volume 507, Issue 2, oktober 2021, pagina's 3057-3069, https://doi .org/10.1093/mnras/stab2342

We bestuderen het seculiere gedrag van een testdeeltje dat rond een dominant centraal lichaam draait en wordt verstoord door een schijf van Miyamoto-Nagai (MN). We leiden een seculiere Hamiltoniaan op quadrupoolniveau van dit systeem af, die een dimensieloze parameter η omvat die wordt gebruikt om de afplatting van de MN-schijf te karakteriseren. (De kleinere η, de plattere schijf; en η = 0 geeft de oneindig dunne Kuzmin-schijf.) We vinden dat, in de quadrupoolbenadering, de verstoring van de MN-schijf aanleiding kan geven tot de von Zeipel-Lidov-Kozai (ZLK) -achtige dynamiek en afhankelijk van de waarde van η heeft de dynamiek twee verschillende manifestaties: (i) wanneer η < 1/3, is het gedrag van het testdeeltje vergelijkbaar met dat beschreven in het klassieke ZLK-probleem. In het bijzonder, als η toeneemt van 0 naar 1/3, neemt de kritische helling voor de grote excentriciteitsoscillaties af van |$26{_{.}^{\circ}}56$| tot 0°, ; (ii) wanneer η > 1/3, de orbitale evolutie van het testdeeltje en de fase-ruimtemorfologie tegengesteld zijn aan het klassieke ZLK-geval. Dit leidt tot een opvallend resultaat dat het testdeeltje niet in een bijna-coplanaire baan kan blijven als zijn excentriciteit voldoende groot is. Naarmate η echter verder toeneemt, zou de ZLK-achtige dynamiek geleidelijk worden onderdrukt door de sferische term in de Hamiltoniaan. We onderzoeken ook de globale seculiere dynamiek numeriek waarin de quadrupoolbenadering niet langer geldig is.

Het von Zeipel-Lidov-Kozai (ZLK) mechanisme in drievoudige systemen laat zien dat een buitenste verstoring de baan van een binnenste binair dramatisch kan verdraaien en kan resulteren in grote excentriciteit en hellingsoscillaties van de binnenste binaire op tijdschalen die veel langer zijn dan zijn omlooptijd. von Zeipel (1910) vond het ZLK-effect voor het eerst in de studie van de orbitale dynamica van kleine lichamen in het zonnestelsel. Dit pionierswerk van von Zeipel (1910) werd tot voor kort echter lange tijd genegeerd (zie Ito & Ohtsuka 2019). Een halve eeuw later werd het ZLK-effect opnieuw geïntroduceerd door Lidov (1961, 1962) en Kozai (1962) in respectievelijk de dynamica van kunstmatige satellieten en hellende asteroïden. Sindsdien is dit seculiere effect geleidelijk bekend geworden en toegepast op tal van astrofysische contexten (zie Naoz 2016 en referenties daarin).

Het klassieke (of standaard) ZLK-mechanisme wordt besproken in het kader van het hiërarchische, circulaire, beperkte drielichamenprobleem (R3BP): een massaloos testdeeltje draait in een strakke baan om een ​​centraal lichaam en vormt het binnenste binaire getal; terwijl het wordt verstoord door een derde lichaam dat rond het centrale lichaam beweegt in een veel bredere cirkelvormige baan. Men kan de storende potentiaal vergroten als gevolg van het derde lichaam in een machtreeks van de semi-grote axiale verhouding, en dan het gemiddelde nemen over de banen van zowel de binnenste binaire als de tertiaire perturber. In dat geval is de dubbelgemiddelde potentiaal uitgeoefend op het binnenste binaire getal axisymmetrisch en dus blijft de z-component van het impulsmoment van het binnenste binaire getal behouden. Bij de quadrupoolbenadering (waarbij de uitzetting van de storende potentiaal wordt afgekapt in quadrupoolorde), wanneer de onderlinge helling tussen de binnenbaan en de buitenbaan groter is dan de kritische hoek |$39{_{.}^{\circ}} 2$|⁠ , het argument van de binnenste baan van het perihelium (ω) librates rond 90 ° of 270 ° en grote, gekoppelde oscillaties van excentriciteit en helling optreden (Kozai 1962).

Tot op heden heeft de ZLK-theorie aanzienlijke ontwikkelingen doorgemaakt en is uitgebreid tot de meer algemene gevallen: (i) buiten de hiërarchische configuratie (bijv. Krasinsky 1972; Lidov & Ziglin 1974; Gronchi & Milani 1999); (ii) versoepeling van de testdeeltjeslimiet en de aanname van de cirkelvormige buitenbaan. Dat wil zeggen, geen van de binnenste binaire getallen is massaloos en de baan van de buitenste verstoring heeft een excentriciteit die niet nul is. In deze situatie, bij de achtpoolbenadering, kan de excentrische buitenste verstoring het zogenaamde excentrische ZLK-effect veroorzaken, waarbij de excentriciteit van de binnenste baan tot extreem grote waarden kan worden gepompt en de helling van de binnenste baan kan omslaan van prograde naar retrograde of vice omgekeerd (Ford, Kozinsky & Rasio 2000; Katz, Dong & Malhotra 2011; Lithwick & Naoz 2011; Naoz et al. 2011, 2013); en (iii) hiërarchische vierlichamenproblemen (Hamers et al. 2015; Hamers & Portegies Zwart 2016; Fang, Thompson & Hirata 2018; Grishin, Lai & Perets 2018; Liu & Lai 2019).

Bovendien hebben veel studies aangetoond dat het ZLK-mechanisme ook kan worden geïnduceerd door niet-Kepleriaanse verstoringen, zoals het Galactische getij en het sterclusterpotentieel (bijv. Heisler & Tremaine 1986; Brasser 2001; Higuchi et al. 2007; Hamilton & Rafikov 2019a , b; Batygin et al. 2020). In het bijzonder hebben Hamilton & Rafikov (2019a, b) het ZLK-probleem gegeneraliseerd naar het geval van een binaire baan in een willekeurige axisymmetrische potentiaal, die fungeert als de 'tertiaire perturber' (het klassieke ZLK-probleem wordt precies hersteld wanneer de axisymmetrische potentiaal wordt genomen om het Kepler-potentieel te zijn).

Aan de andere kant wordt een soortgelijk mechanisme als ZLK ook waargenomen wanneer de tertiaire verstoring een cirkelvormige schijf of ring is, of andere axisymmetrische massaverdelingen, gecentreerd op het centrale lichaam (Vokrouhlicky & Karas 1998; Sridhar & Touma 1999; Šubr & Karas 2005 ; Terquem & Ajmia 2010; Haas, Šubr & Vokrouhlický 2011; Teyssandier, Terquem & Papaloizou 2013; Vasiliev & Merritt 2013; Haas & ubr 2016). In feite is de seculiere evolutie van de baan van een testdeeltje rond een centraal lichaam, veroorzaakt door een extern lichaam dat in een cirkelvormige baan beweegt, identiek aan die veroorzaakt door een cirkelvormige en homogene ring, met een massa gelijk aan de massa van het externe lichaam, en straal gelijk aan de straal van de cirkelvormige baan (dit idee is afkomstig van de middelingsmethode van Gauss; zie Murray & Dermott 1999). Om precies te zijn, het verstorende potentieel als gevolg van de ring is wiskundig gelijk aan het middelen van het verstorende potentieel van het externe lichaam over zijn baan. De resultaten voor het klassieke ZLK-probleem, inclusief de kritische helling ic = |$39{_{.}^{\circ}}2$|⁠ , kunnen dus worden uitgebreid tot het geval van de ring. Bovendien geldt deze verklaring ook voor een circulaire annulus (Terquem & Ajmia 2010). Onlangs hebben Liu, Xu & Liao (2020) de orbitale dynamica van een testdeeltje onderzocht onder de verstoring van een tweedimensionale uniforme schijf en van een tweedimensionale Kuzmin-schijf. Ze hebben analytisch aangetoond dat de uniforme schijf/Kuzmin-schijf kan leiden tot het ZLK-achtige mechanisme, en in de dipoolbenadering is de kritische helling voor het begin van het ZLK-achtige mechanisme ic = 30°.

In dit artikel richten we ons op de seculiere dynamica van een testdeeltje dat beweegt onder de zwaartekracht van een centraal lichaam en een Miyamoto-Nagai (MN) schijf (Miyamoto & Nagai 1975), gecentreerd op het centrale lichaam. De MN-schijf is een driedimensionale, axisymmetrische schijf en wordt veel gebruikt om galactische schijven en andere stellaire schijven te modelleren (bijv. Allen & Santillan 1991; Johnston, Spergel & Hernquist 1995; Sofue 1996; Cooper et al. 2008; Deg & Widrow 2013; Salem et al. 2015; Sameie et al. 2018; Schneider & Robertson 2018; Combes et al. 2019; Bustard et al. 2020). Zoals we zullen zien, kan de verstoring van de MN-schijf aanleiding geven tot het gedrag van het testdeeltje vergelijkbaar met dat in het klassieke ZLK-probleem, zoals de periodieke uitwisseling tussen excentriciteit en helling (e–i-koppeling) en de seculiere ZLK-resonantie (e–ω koppeling). Om deze reden zullen we in dit artikel de term 'ZLK-achtig' gebruiken om te verwijzen naar het mechanisme dat wordt veroorzaakt door de MN-schijf. Bovendien zal in de quadrupoolbenadering de kritische helling voor het ZLK-achtige mechanisme minder dan 30° zijn, wanneer de schijf dun en plat is.

Merk op dat er een fundamenteel verschil is tussen het mechanisme dat in dit artikel wordt onderzocht en het pure ZLK-mechanisme. Dat wil zeggen, in de gebruikelijke ZLK-gevallen draait de tertiaire storing rond de binnenste binaire (of, equivalent, de binnenste binaire beweegt in de potentiaal van de tertiaire storing, gezien vanuit het referentiekader van de tertiaire). Dus om de kortetermijntermen in de Hamiltoniaan te elimineren, moet men deze gemiddeld over de banen van zowel de binnenste binaire als de tertiaire verstoring. In ons geval is er echter geen relatieve beweging tussen de verstoring (de MN-schijf) en het zwaartepunt van het binnenste binaire getal (dwz het centrale lichaam in de testdeeltjeslimiet), en daarom hoeven we alleen de Hamiltoniaan over de baan van het binnenste binaire getal te middelen. Zoals opgemerkt door Hamilton & Rafikov (2019a), is het middelen van de Hamiltoniaan opgenomen in de middeling over de baan van het binnenste binaire getal, wat verschilt van het ZLK-geval.

Iwasa & Seto (2016, 2017) beschouwden de orbitale evolutie van een ster rond een massief zwart gat (MBH) vanwege het gecombineerde effect van het bolvormige sterclusterpotentieel, een secundaire MBH op de krimpende cirkelvormige baan en de algemeen relativistische (GR ) precisie. In deze situatie is de dynamiek die ze verkrijgen tot op zekere hoogte analoog aan die in dit artikel. Onze resultaten kunnen een glimp opvangen van de evolutie van een testdeeltje dat wordt verstoord door de algemene driedimensionale schijf (of axisymmetrische potentiaal) en kunnen nuttig zijn voor relevant onderzoek.

Dit blad is als volgt ingedeeld. In sectie 2 introduceren we het dynamische model voor ons beschouwde seculiere probleem en leiden we de quadrupolaire baangemiddelde Hamiltoniaan af. In sectie 3 analyseren we de seculiere dynamiek als gevolg van de MN-schijf in de quadrupolaire benadering. In sectie 4 onderzoeken we numeriek de seculiere dynamiek voorbij de quadrupoolbenadering, en we zullen een globaal beeld van de dynamiek geven. In paragraaf 5 bespreken we twee belangrijke problemen: de invloeden van de massa van de MN-schijf en de superpositie van de MN-schijven op de seculiere dynamiek. Tot slot vatten we onze resultaten samen in hoofdstuk 6.

In deze sectie analyseren we de seculiere dynamica van testdeeltjes in het quadrupolaire gemiddelde model door middel van Hamiltoniaanse verstoringstheorie.

De kritische waarde Jc, gegeven door vergelijking (30), als functie van .

De kritische waarde Jc, gegeven door vergelijking (30), als functie van .

Om de resultaten die zijn afgeleid in paragraaf 3.1 te illustreren, plotten we de fase-ruimtetrajecten in het (e, ω) vlak. Deze fase-ruimtetrajecten worden verkregen uit de directe numerieke integraties van de banen van de testdeeltjes in het volledige model, waarbij de MN-potentiaal beschreven door vergelijking (2) niet wordt benaderd of gemiddeld.

afb. 2 toont de (e, ω) faseruimtetrajecten voor η = 0,2. Uit vergelijking (30) hebben we Jc ≈ 0,96 voor η = 0,2. Zoals te zien is in figuur 2, is er dus voor Jz = 0,2, 0,8, 0,95 een (stabiel) evenwichtspunt op ω = |$\pi$| /2 in de faseruimte en de seculiere ZLK-achtige resonantie optreedt. Voor Jz = 0,97 bestaan ​​het evenwichtspunt en de ZLK-achtige resonantie echter niet.

De (e, ) fase-ruimtetrajecten voor η = 0.2. De ononderbroken rode lijnen vertegenwoordigen de werkelijke trajecten die zijn verkregen uit directe numerieke integratie in het volledige model. In onze numerieke berekeningen heeft het systeem MMN/M⋆ = 10−2, α = 0,1. De gestippelde blauwe lijnen vertegenwoordigen de niveaucurven van de gemiddelde Hamiltoniaan (16). Vanwege de symmetrie plotten we alleen de banen in het bereik 0 ≤ ω ≤ |$\pi$|⁠ . De zwarte pijlen geven de richting van de fase-ruimtetrajecten aan en de zwarte stippen markeren de analytische evenwichtspunten die door vergelijking (27) worden gegeven.

De (e, ) fase-ruimtetrajecten voor η = 0.2. De ononderbroken rode lijnen vertegenwoordigen de werkelijke trajecten die zijn verkregen uit directe numerieke integratie in het volledige model. In onze numerieke berekeningen heeft het systeem MMN/M⋆ = 10−2, α = 0,1. De gestippelde blauwe lijnen vertegenwoordigen de niveaucurven van de gemiddelde Hamiltoniaan (16). Vanwege de symmetrie plotten we alleen de banen in het bereik 0 ≤ ω ≤ |$\pi$|⁠ . De zwarte pijlen geven de richting van de fase-ruimtetrajecten aan en de zwarte stippen markeren de analytische evenwichtspunten die door vergelijking (27) worden gegeven.

Uit figuur 2 blijkt duidelijk dat wanneer het evenwichtspunt bestaat, de variaties in e groot zijn, vooral voor kleine waarden van Jz, die overeenkomen met grotere hellingen; bovendien is de fase-ruimtestructuur kwalitatief vergelijkbaar met het klassieke ZLK-geval in de circulaire R3BP. Bovendien is in FIG. 2 toont een vergelijking van de resultaten van de directe numerieke integratie (ononderbroken lijn) met de analytische theorie (stippellijnen) dat ons quadrupolaire gemiddelde model een goede benadering is van de evolutie van het systeem.

In afb. 3, plotten we de (e, ω) fase-ruimtetrajecten voor η = 0.35. Zoals verwacht zien we dat voor alle waarden van Jz waarnaar in figuur 3 wordt verwezen, er evenwichtspunten zijn in de faseruimte, aangezien uit vergelijking (30) Jc ≈ 0,995 voor η = 0,35.

Hetzelfde als 2 maar voor η = 0,35.

Hetzelfde als 2 maar voor η = 0,35.

We merken op dat de morfologie van de faseruimte voor η = 0.35 is omgekeerd met die voor η = 0.2 (zie figuren 2 en 3). Voor η = 0,35, in de (e, ω) faseruimte zijn de circulerende trajecten allemaal onder het bevrijdende eiland, en de richting van de circulerende trajecten is tegengesteld aan het η = 0.2 geval. In feite, als η < 1/3, hebben we volgens vergelijking ( 25) |$\dot{g}\gt 0$| bij ω = 0, |$\pi$|⁠ . Vandaar dat de circulerende trajecten in de prograde ω-richting lopen van 0 naar |$\pi$| (omdat voor de circulerende trajecten het teken van |$\dot{g}$| onveranderd blijft in het bereik 0 ≤ ω ≤ 2|$\pi$|⁠ ). Echter, wanneer η > 1/3, |$\dot{g}\lt 0$| bij ω = 0, |$\pi$|⁠ . De circulerende trajecten reizen in de retrograde ω-richting van |$\pi$| naar 0. Ondertussen, volgens vergelijking ( 22), neemt e monotoon af naarmate ω voorafgaat van |$\pi$| naar |$\pi$| /2, terwijl het toeneemt naarmate ω voorafgaat vanaf |$\pi$| /2 tot 0, wat resulteert in de kleine excentriciteit die geen grote waarden kan bereiken, zoals weergegeven in Fig. 3.

De variaties van excentriciteit en helling voor een bijna cirkelvormige baan met verschillende initiële hellingen, verkregen door directe numerieke integratie van de volledige bewegingsvergelijkingen van het testdeeltje. Voor het beschouwde systeem stellen we |$\mathcal {G}=1$|⁠ , M⋆ = 1, MMN = 0.1, C = 100 en η = 0.2. Het testdeeltje begint a0 = 10, e0 = 0,01, ω0 = 90° en i0 = 15° (groene lijnen), 25° (blauwe lijnen) en 45° (rode lijnen). De gestippelde horizontale lijnen illustreren de voorspelde maximale excentriciteit emax gegeven door vergelijking ( 38).

De variaties van excentriciteit en helling voor een bijna cirkelvormige baan met verschillende initiële hellingen, verkregen door directe numerieke integratie van de volledige bewegingsvergelijkingen van het testdeeltje. Voor het beschouwde systeem stellen we |$\mathcal {G}=1$|⁠ , M⋆ = 1, MMN = 0.1, C = 100 en η = 0.2. Het testdeeltje begint a0 = 10, e0 = 0,01, ω0 = 90° en i0 = 15° (groene lijnen), 25° (blauwe lijnen) en 45° (rode lijnen). De gestippelde horizontale lijnen illustreren de voorspelde maximale excentriciteit emax gegeven door vergelijking ( 38).

afb. 5 toont de kritische helling ic als functie van η (≤1/3). Als η toeneemt van 0 naar 1/3, neemt ic af van |$26{_{.}^{\circ}}56$| tot 0°. Wanneer η = 1/3, ic = 0°; met andere woorden, het ZLK-achtige mechanisme kan nu met willekeurige neigingen werken. Merk op dat wanneer η heel dicht bij nul ligt, de voorspelde waarde van ic die wordt verschaft door vergelijking (32) onnauwkeurig is. Er is een relatief groot verschil in ic tussen de voorspelde waarde en de werkelijke waarde. Een vergelijking hiervan wordt gegeven in paragraaf 4.1.

De kritische helling ic, gegeven door vergelijking ( 32), als functie van .

De kritische helling ic, gegeven door vergelijking ( 32), als functie van .

In afb. 6, voor η = 0,4, laten we de excentriciteit en hellingsvariaties zien voor een bijna-coplanaire baan (i0 = 1°) met verschillende initiële excentriciteit e0 = 0,15, 0,3 en 0,6. Vergelijking (33) geeft ec ≈ 0.2 voor η = 0.4. Zoals verwacht zijn er voor e0 = 0,15 weinig veranderingen in de excentriciteit en hellingshoek. Voor e0 = 0,3, 0,6 zijn de excentriciteit en hellingsvariaties relatief groot en kunnen de hellingen groeien van 1° tot grote waarden, en daarom kan de baan niet in de buurt van coplanair blijven. Laten we een korte samenvatting van deze paragraaf maken. Voor η < 1/3, wanneer de helling van de (bijna) cirkelvormige baan groter is dan de kritische helling ic gegeven door vergelijking ( 32), zijn er oscillaties met grote amplitude in excentriciteit en helling. In dit geval kan het testdeeltje dus niet in een hellende, (bijna) cirkelvormige baan blijven. Voor η > 1/3, als de excentriciteit van de bijna-coplanaire baan groter is dan de kritische excentriciteit ec in vergelijking ( 33), zouden de excentriciteit en helling grote amplitudeschommelingen ondergaan, wat leidt tot een resultaat dat het testdeeltje kan niet in een excentrische, bijna coplanaire baan blijven. Dit is anders dan in het geval η < 1/3, waarin de oscillatieamplitudes van de excentriciteit en helling klein zijn wanneer de helling kleiner is dan de kritische helling.

De variaties van excentriciteit en helling voor een bijna-coplanaire baan met verschillende initiële excentriciteiten, verkregen uit directe numerieke integratie in het volledige model. De parameters van het systeem zijn hetzelfde als in Fig. 4, maar η = 0,4. Het testdeeltje begint a0 = 10, i0 = 1°, ω0 = 90° en e0 = 0,15 (groene lijnen), 0,3 (blauwe lijnen) en 0,6 (rode lijnen). De gestippelde horizontale lijnen illustreren de voorspelde maximale helling imax gegeven door vergelijking ( 42).

De variaties van excentriciteit en helling voor een bijna-coplanaire baan met verschillende initiële excentriciteiten, verkregen uit directe numerieke integratie in het volledige model. De parameters van het systeem zijn hetzelfde als in Fig. 4, maar η = 0,4. Het testdeeltje begint a0 = 10, i0 = 1°, ω0 = 90° en e0 = 0,15 (groene lijnen), 0,3 (blauwe lijnen) en 0,6 (rode lijnen). De gestippelde horizontale lijnen illustreren de voorspelde maximale helling imax gegeven door vergelijking ( 42).

In het geval η < 1/3, voor een testdeeltje dat aanvankelijk in een (bijna) cirkelvormige baan beweegt, als i0 > ic, neemt de excentriciteit van het testdeeltje toe terwijl de helling afneemt, zoals weergegeven in Fig. 4. We zouden dus graag de maximale excentriciteit en de minimale helling afleiden die door het testdeeltje wordt bereikt tijdens de ZLK-achtige oscillaties.

Vervolgens evalueren we de tijdschalen van de ZLK-achtige oscillaties voor het testdeeltje aanvankelijk op de bijna cirkelvormige (coplanaire) baan voor η < 1/3 (η > 1/3).

Hier geven we alleen een benadering van de periode van de oscillaties van excentriciteit en helling. In feite zou men een uitdrukking kunnen afleiden voor de exacte periode, maar dan in termen van elliptische integralen (zoals uitgevoerd door Hamilton & Rafikov 2019b).

Ten slotte berekenen we de breedte van het libratiegebied in excentriciteit voor gegeven waarden van η en Jz (voldoende aan de beperking 29). De libratiebreedte kan de kracht van het ZLK-achtige mechanisme karakteriseren. De grotere libratiebreedte betekent de grotere variatie in excentriciteit.

emax (blauwe lijn), emin (groene lijn) en eep (rode lijn) als functie van Jz voor een selectie van waarden van η. Waarbij emax en emin respectievelijk de maximale en minimale excentriciteit op het libratie-eiland zijn; eep is de excentriciteit van het evenwichtspunt, gegeven door vergelijking ( 27). De roze gebieden illustreren de positie van het libratie-eiland in de faseruimte en de breedte δe als functie van Jz. De drie panelen in de bovenste rij komen overeen met (van links naar rechts) η = 0,1, 0,2 en 0,3. De onderste rij komt overeen met (van links naar rechts) η = 0,35, 0,5 en 1.

emax (blauwe lijn), emin (groene lijn) en eep (rode lijn) als functie van Jz voor een selectie van waarden van η. Waarbij emax en emin respectievelijk de maximale en minimale excentriciteit op het libratie-eiland zijn; eep is de excentriciteit van het evenwichtspunt, gegeven door vergelijking ( 27). De roze gebieden illustreren de positie van het libratie-eiland in de faseruimte en de breedte δe als functie van Jz. De drie panelen in de bovenste rij komen overeen met (van links naar rechts) η = 0,1, 0,2 en 0,3. De onderste rij komt overeen met (van links naar rechts) η = 0,35, 0,5 en 1.

Aan de andere kant blijkt uit vergelijkingen ( 55) en (56) dat, voor een gegeven waarde van Jz, als η toeneemt, δe toeneemt voor η < 1/3, terwijl het afneemt voor η > 1/3. Echter, wanneer η < 1/3, is er weinig verschil in δe voor dezelfde waarde van Jz (zie de bovenste rij in Fig. 7). In afb. 8, plotten we de (e, ω) faseruimteportretten met Jz = 0,5 voor η = 0,5, 1 en 2. We zien dat met de toename van η het libratie-eiland kleiner wordt en de variaties van e in het algemeen kleiner worden. Zoals besproken in paragraaf 3.2, komt dit omdat naarmate η toeneemt, het ZLK-achtige mechanisme geleidelijk wordt onderdrukt door de sferische term in de Hamiltoniaan (13). Het is gemakkelijk voor te stellen dat, wanneer η voldoende groot is, het libratie-eiland zou verdwijnen en er alleen de circulerende banen in de faseruimte zijn.

Jz = 0,5: de (e, ω) faseruimteportretten voor η = 0,5 (linkerpaneel), η = 1 (middenpaneel) en η = 2 (rechterpaneel). De resultaten worden verkregen door directe numerieke integratie van de bewegingsvergelijkingen van testdeeltjes in het volledige model. De parameters van het systeem zijn dezelfde als in afb. 2.

Jz = 0,5: de (e, ω) faseruimteportretten voor η = 0,5 (linkerpaneel), η = 1 (middenpaneel) en η = 2 (rechterpaneel). De resultaten worden verkregen door directe numerieke integratie van de bewegingsvergelijkingen van testdeeltjes in het volledige model. De parameters van het systeem zijn dezelfde als in afb. 2.

In Sectie 3 hebben we de seculiere dynamiek die wordt aangedreven door de MN-potentiaal analytisch onderzocht door middel van het quadrupolaire gemiddelde model. Ons quadrupolaire gemiddelde model heeft echter een aangeboren afwijking: het is duidelijk niet van toepassing op het geval van zeer kleine η (∼0), dwz de extreem dunne schijf. Aan de andere kant, wanneer α een grotere waarde aanneemt (zoals α = 0,5), zouden de effecten van de hogere orde termen in α niet verwaarloosbaar worden, en daarom kan het quadrupolaire gemiddelde model de dynamische evolutie van het systeem niet voldoende beschrijven. Een nauwkeuriger benadering is om het MN-potentieel over de baan van het testdeeltje te middelen zonder enige getijbenadering te maken. Dit noemen we het 'volledig gemiddelde model'. Om het defect van het quadrupolaire gemiddelde model te verhelpen en om de globale dynamiek van het systeem te begrijpen, zullen we daarom het volledige gemiddelde model beschouwen.

Uit vergelijking (2) weten we dat het bijna onmogelijk is om een ​​analytische uitdrukking te verkrijgen voor |$\overline{\Phi }_\text{MN}$| door het middelen van ΦMN in vergelijking (2) direct zonder enige benadering. De seculiere dynamiek in het volledige gemiddelde model kan dus alleen worden begrepen door numerieke benaderingen.

Voor α = 0,01, 0,3, 0,5 en 0,8 hebben we vergelijkingen ( 67)–( 70) opgelost en Jc berekend als een functie van η (zonder verlies van algemeenheid stellen we in onze berekeningen C = 100). De resultaten worden getoond in Fig. 9. Uit Fig. 9 blijkt duidelijk dat het gedrag van Jc in het volledig gemiddelde model vergelijkbaar is met dat in het quadrupolaire gemiddelde model, dwz als η toeneemt, neemt Jc eerst toe (voordat η het keerpunt bereikt) en vervolgens afneemt. In het volledige gemiddelde model is Jc echter afhankelijk van α. Voor α = 0,01 komt het resultaat van het volledige gemiddelde model uitstekend overeen met het quadrupolaire gemiddelde model, behalve wanneer η ∼ 0. Echter, naarmate α toeneemt, wordt het verschil tussen de resultaten van de twee modellen groot; en het keerpunt voor het volledige gemiddelde model beweegt terug in de richting.

De kritische waarde Jc als functie van η in het volledige gemiddelde model, en een vergelijking met het resultaat van het quadrupolaire gemiddelde model. De rode ononderbroken lijn geeft de waarden van Jc aan die zijn verkregen in het quadrupolaire gemiddelde model (QAM). De stippellijnen geven de waarden van Jc aan die zijn verkregen in het volledige gemiddelde model (FAM), waarbij de zwarte lijn overeenkomt met α = 0,01; de blauwe lijn komt overeen met α = 0,3; de groene lijn komt overeen met α = 0,5; en de violette lijn komt overeen met α = 0,8.

De kritische waarde Jc als functie van η in het volledige gemiddelde model, en een vergelijking met het resultaat van het quadrupolaire gemiddelde model. De rode ononderbroken lijn geeft de waarden van Jc aan die zijn verkregen in het quadrupolaire gemiddelde model (QAM). De stippellijnen geven de waarden van Jc aan die zijn verkregen in het volledige gemiddelde model (FAM), waarbij de zwarte lijn overeenkomt met α = 0,01; de blauwe lijn komt overeen met α = 0,3; de groene lijn komt overeen met α = 0,5; en de violette lijn komt overeen met α = 0,8.

Zie nogmaals de curve voor α = 0,01 in Fig. 9. Als η → 0 geeft het volledige gemiddelde model |$J_\mathrm{ c}\rightarrow \sqrt{3}/2 (\sim 0.866)$|⁠ , wat overeenkomt met ic → 30°. Dit resultaat is consistent met Liu et al. (2020) die erop heeft gewezen dat, wanneer α ≪ 1, de kritische helling ic voor het ZLK-achtige mechanisme vanwege de Kuzimin-potentiaal (η = 0) gelijk is aan 30°.

Met behulp van het volledige gemiddelde model kunnen we de seculiere dynamiek onderzoeken die voortkomt uit het MN-potentieel voor het geval dat α groot is. We hebben vergelijkingen ( 65) en ( 66) opgelost voor verschillende waarden van α, Jz en η. We vinden dat voor sommige waarden van Jz en η beide vergelijkingen ( 65) en ( 66) een zinvolle oplossing hebben als α groot is. Met andere woorden, er zijn twee evenwichtspunten tegelijk in de faseruimte, één op ω = |$\pi$| /2 en de andere bij ω = 0. Dit is een belangrijk verschil met het quadrupolaire gemiddelde model waarin het bestaan ​​van een evenwichtspunt onafhankelijk is van α en er geen evenwichtspunt is bij ω = 0. 10, we tonen de (e, ω) faseruimteportretten voor α = 0,4, η = 0,2, en Jz = 0,5 (linkerpaneel) en α = 0,6, η = 0,4 en Jz = 0,5 (rechterpaneel), waarvoor de oplossingen van vergelijkingen ( 65) en ( 66) bestaan ​​gelijktijdig. We kunnen in afb. 10 dat er een stabiel evenwichtspunt (midden) is op ω = |$\pi$| /2 en een onstabiel evenwichtspunt (zadel) op ω = 0(⁠|$\pi$|⁠ ) in deze twee faseruimten. Het is ook niets waard dat in deze twee portretten het ZLK-achtige mechanisme de aanvankelijke kleine excentriciteiten niet naar hoge waarden pompt, waardoor de bijbehorende neigingen op grote waarden worden gehandhaafd (vanwege het behoud van Jz). Dit leidt tot de kleine excentriciteitsbanen die hellend zouden kunnen blijven.

De (e, ω) faseruimteportretten, verkregen in het volledige model, voor α = 0,4, η = 0,2 en Jz = 0,5 (linkerpaneel) en α = 0,6, η = 0,4 en Jz = 0,5 ( rechter paneel). In onze berekeningen heeft het systeem MMN/M⋆ = 10−2. De pijlen geven de richting van fase-ruimtetrajecten aan. De zwarte en rode stippen markeren de evenwichtspunten die zijn verkregen door respectievelijk vergelijkingen ( 65) en ( 66) op te lossen.

De (e, ω) faseruimteportretten, verkregen in het volledige model, voor α = 0,4, η = 0,2 en Jz = 0,5 (linkerpaneel) en α = 0,6, η = 0,4 en Jz = 0,5 ( rechter paneel). In onze berekeningen heeft het systeem MMN/M⋆ = 10−2. De pijlen geven de richting van fase-ruimtetrajecten aan. De zwarte en rode stippen markeren de evenwichtspunten die zijn verkregen door respectievelijk vergelijkingen ( 65) en ( 66) op te lossen.

Door de faseruimteportretten te bekijken die worden getoond in figuren 2, 3 en 10, willen we misschien de ZLK-achtige resonantie die voortkomt uit de seculiere verstoring van een MN-schijf in drie typen classificeren.

Type I. Er is een stabiel evenwichtspunt (midden) op ω = |$\pi$| /2, en de circulerende banen lopen boven het libratie-eiland, zoals getoond in de vorige drie panelen in Fig. 2. Deze resonantie is kwalitatief vergelijkbaar met de klassieke ZLK-resonantie die ons al bekend is.

Typ II. Er is een stabiel evenwichtspunt (midden) op ω = |$\pi$| /2, terwijl de circulerende banen onder het libratie-eiland lopen, zoals weergegeven in Fig. 3. Deze resonantie is tegengesteld aan de klassieke ZLK-resonantie.

Typ III. Er is een stabiel evenwichtspunt (midden) op ω = |$\pi$| /2 en een onstabiel evenwichtspunt (zadel) op ω = 0(⁠|$\pi$|⁠ ), en het libratie-eiland ligt in het midden van de circulerende banen. Het fase-ruimteportret van dit resonantietype is zoals geïllustreerd in figuur 10.

In het volledige gemiddelde model, wanneer η als een constante is vastgesteld, wordt de ZLK-achtige resonantie bepaald door de waarden van α en Jz. Het is natuurlijk om te vragen welk type resonantie zou optreden voor een bepaald paar waarden van α, Jz. Voor dit probleem wordt in FIG. 11 tonen we de verdelingen van de drie soorten ZLK-achtige resonantie in de parameterruimte α × Jz = (0, 1] × [0, 1] voor een selectie van waarden van η. oranje en gele gebieden vertegenwoordigen de verdelingen van respectievelijk de typen I, II en III van resonantie oplossingen van vergelijkingen ( 67)-( 70) (met andere woorden, de oplossingen van deze vergelijkingen nemen paleis op de grenzen van regio's). tussen rood gebied en blauw gebied komt overeen met de oplossing van vergelijking ( 67) de grens tussen geel gebied en blauw gebied komt overeen met de oplossing van vergelijking ( 68); de grens tussen rood gebied en geel gebied komt overeen met de oplossing van vergelijking ( 69) en de grens tussen het oranje gebied en het gele gebied komt overeen met de oplossing van vergelijking 70. In het bijzonder geven de grenskrommen tussen de rode (of gele) gebieden en blauwe gebieden Jc als functie van α.

Verdelingen van de drie soorten ZLK-achtige resonantie in de parameterruimte α × Jz = (0, 1] × [0, 1] voor een selectie van waarden van η. ) η = 0, 0.2 en 0.3; de panelen in de middelste rij komen overeen met η = 0,35, 0,42 en 0,47; en de panelen in de onderste rij komen overeen met η = 0,7, 1,5 en 10. De rode gebieden tonen de In de blauwe gebieden is er geen ZLK-achtige resonantie, en het corresponderende faseruimteportret is zoals getoond in de meest rechtse paneel Afb. 2.

Verdelingen van de drie soorten ZLK-achtige resonantie in de parameterruimte α × Jz = (0, 1] × [0, 1] voor een selectie van waarden van η. ) η = 0, 0.2 en 0.3; de panelen in de middelste rij komen overeen met η = 0,35, 0,42 en 0,47; en de panelen in de onderste rij komen overeen met η = 0,7, 1,5 en 10. De rode gebieden tonen de In de blauwe gebieden is er geen ZLK-achtige resonantie, en het corresponderende faseruimteportret is zoals getoond in de meest rechtse paneel Afb. 2.

Volgens afb. 11 en de vorige analyse in sectie 3, kan de globale seculiere dynamiek onder de verstoring van een MN-schijf als volgt kort worden samengevat.

Wanneer 0 ≤ η < 1/3, zijn er typen I en III van resonantie in de parameterruimte α × Jz = (0, 1] × [0, 1] (zie de bovenste rij in Fig. 11). type I resonantie treedt op, en voor grote α treedt type III resonantie op.

Wanneer 1/3 < η ≲ 0,7, zijn er typen I, II en III van resonantie in de parameterruimte (zie de middelste rij in Fig. 11). Type I van resonantie (rood gebied) neemt echter slechts een zeer klein deel van de parameterruimte in beslag. Anders dan in het geval 0 ≤ η < 1/3, zou voor kleine α het testdeeltje nu type II resonantie ondergaan.

Wanneer 0,7 ≲ η < +∞, resonantietypes I en III volledig verdwijnen, is er alleen resonantietype II in de parameterruimte (zie de onderste rij in Fig. 11). Naarmate η toeneemt, neemt Jc af en neemt het blauwe gebied geleidelijk een aanzienlijk deel van de parameterruimte in beslag; dienovereenkomstig wordt type II van resonantie geleidelijk onderdrukt. Het is gemakkelijk voor te stellen dat resonantietype II ook zou verdwijnen als η groot genoeg is.

Hoewel het moeilijk is om de nieuwe fysica in deze sectie kwalitatief te begrijpen, is een eenvoudige fysieke verklaring voor de nieuwe fysica dat deze voortkomt uit de hexadecapole en hogere termen (merk op dat de achtvoudige term identiek nul is voor de algemene MN-potentiaal).

Uit de vorige paragrafen zien we dat in de bewegingsvergelijkingen van testdeeltjes de massa van de MN-schijf net dient als een numerieke factor om de tijdschaal van de ZLK-achtige oscillaties te beperken. Dus het variëren van de massa van de MN-schijf (in een beperkt bereik) zal de kwalitatieve eigenschappen van de orbitale evolutie van testdeeltjes niet veranderen. Uit vergelijkingen ( 50) en ( 51) hebben we TZLK ∝ 1/MMN; en dus hoe groter de massa van de MN-schijf, hoe korter de oscillatieperiode.

Aan de andere kant, wanneer de massa van MN-schijf en de halve lange as van het testdeeltje te groot zijn (dwz de massaverhouding MMN/M⋆ en α zijn te groot, zoals MMN/M⋆ = 0,5, α = 0,8) , de grote verstoring van de MN-schijf zou ervoor zorgen dat bepaalde regio's van de faseruimte chaotisch worden; in dergelijke gebieden zal het dynamische gedrag van het testdeeltje onvoorspelbaar worden. Dit probleem valt echter ver buiten het bestek van dit artikel, daarom zullen we het hier niet verder bespreken.

Door de afzonderlijke MN-schijven over elkaar heen te leggen, kunnen we meer realistische driedimensionale modellen construeren voor schijfvormige astronomische objecten of systemen. Smit et al. (2015) presenteerde dat de veronderstelling van drie MN-schijven een goede pasvorm geeft aan een radiaal exponentiële schijf. De analoge discussie voor een radiale en verticale exponentiële schijf en meer complexe massaverdelingsmodellen is te vinden in Rojas-Niño et al. (2016).

Door vergelijking ( 75) te vergelijken met vergelijking ( 16), zien we dat onze analyse voor een enkele MN-schijf, gebaseerd op het quadrupolaire gemiddelde model, evenzeer van toepassing is op het geval van de superpositie van n MN-schijven, zolang we k vervangen en η door respectievelijk k′ en η′. De orbitale evoluties van testdeeltjes aangedreven door de n MN-schijven kunnen dus kwalitatief worden begrepen met behulp van deze eenvoudige benadering.

We hebben de seculiere dynamica van testdeeltjes bestudeerd onder de verstoring van de MN-schijf. Eerst hebben we het MN-potentieel uitgebreid in een Taylor-reeks en op basis hiervan hebben we het quadrupolaire gemiddelde model voor dit beschouwde probleem ontwikkeld. Wanneer α ≪ 1, kan het quadrupolaire gemiddelde model de dynamische evolutie van het systeem goed beschrijven.

Ten tweede hebben we gekeken naar de orbitale evoluties van testdeeltjes in het quadrupolaire gemiddelde model. We ontdekten dat de verstoring van de MN-schijf het ZLK-achtige mechanisme kan activeren. In het bijzonder, afhankelijk van de afvlakkingsparameter van MN-schijf, , heeft het ZLK-achtige mechanisme dat door de MN-schijf wordt geïnduceerd, verschillende manifestaties. Wanneer η < 1/3, is het mechanisme vergelijkbaar met het klassieke ZLK-mechanisme in de cirkelvormige R3BP. In de resonantiefaseruimte is er een stabiel evenwichtspunt op ω = |$\pi$| /2(3|$\pi$| /2) en de circulerende banen lopen boven het libratie-eiland. De kleine excentriciteiten gekoppeld aan grote hellingen zouden door het ZLK-achtige mechanisme tot grote waarden worden opgepompt. Het testdeeltje met een grote helling kan dus niet in een bijna cirkelvormige baan blijven. Naarmate η toeneemt van 0 naar 1/3, neemt de kritische waarde Jc voor het optreden van het ZLK-achtige mechanisme toe van |$\sqrt{4/5}$| tot 1. Dienovereenkomstig neemt de kritische helling ic af van |$26{_{.}^{\circ}}56$| tot 0°. Dit geeft aan dat wanneer η = 1/3 het ZLK-achtige mechanisme kan werken voor willekeurig lage hellingen. Het is echter belangrijk op te merken dat, voor zeer kleine η (∼0), de waarden van Jc en ic gegeven door het quadrupolaire gemiddelde model onnauwkeurig zijn.

Wanneer η > 1/3, heeft het ZLK-achtige mechanisme de omgekeerde manifestatie in het geval van η < 1/3. In de resonantiefaseruimte is er nog steeds een stabiel evenwichtspunt op ω = |$\pi$| /2(3|$\pi$| /2). De circulatiebanen lopen echter onder het libratie-eiland, wat aanleiding geeft tot een opvallend gedrag dat de kleine excentriciteiten, overeenkomend met grote hellingen, geen grote waarden kunnen bereiken. Daarentegen zou de grote excentriciteit met kleine hellingen ZLK-achtige oscillaties met grote amplitude ondergaan, en de kleine helling zou worden opgewekt tot grote waarden. Daarom kan het testdeeltje met een grote excentriciteit niet in een bijna-coplanaire baan blijven. In het geval η > 1/3, als η toeneemt van 1/3 tot +∞, neemt Jc af van 1 naar 0; en het ZLK-achtige mechanisme wordt dienovereenkomstig geleidelijk onderdrukt. Wanneer η voldoende groot is, zou het ZLK-achtige mechanisme verdwijnen.

Ten derde onderzoeken we de globale seculiere dynamiek van testdeeltjes numeriek in het volledige gemiddelde model. In het volledig gemiddelde model is het ZLK-achtige mechanisme niet alleen afhankelijk van η maar ook van α. Wanneer α ≪ 1, is de seculiere dynamiek van het testdeeltje in het volledige gemiddelde model vergelijkbaar met die in het quadrupolaire gemiddelde model. Het volledige gemiddelde model geeft echter dat |$J_\mathrm{ c}\rightarrow \sqrt{3}/2$| en ic → 30° as η → 0. Dit komt overeen met de vorige studie (Liu et al. 2020). Wanneer α groot is, wordt de seculiere dynamiek van het volledige gemiddelde model ingewikkeld. We vinden dat er een andere manifestatie is van het ZLK-achtige mechanisme. In dit geval bestaan ​​de evenwichtspunten op ω = 0(⁠|$\pi$|⁠ ) en ω = |$\pi$| /2(3|$\pi$| /2) tegelijk.

Ten slotte bespraken we de seculiere dynamiek van testdeeltjes onder de gesuperponeerde verstoringen van verschillende MN-schijven. We vinden dat de analyse voor een enkele MN-schijf gemakkelijk kan worden uitgebreid tot de superpositie van meerdere MN-schijven, op voorwaarde dat we de overeenkomstige parameters van de MN-schijf vervangen.

We danken de anonieme referent voor nuttige opmerkingen en suggesties voor het verbeteren van dit document. Dit werk wordt ondersteund door de National Natural Science Foundation of China (NSFC) (subsidienummers 11973010 en 11803066).

De gegevens die ten grondslag liggen aan dit artikel zullen op een redelijk verzoek worden gedeeld met de corresponderende auteur.

Allen C., Santillan A., 1991, Rev. mex. Astron. Astrophis., 22, 255

Batygin K., Adams FC, Batygin YK, Petigura EA, 2020, AJ, 159, 101 10.3847/1538-3881/ab665d

Binney J., Tremaine S., 2008, Galactic Dynamics, 2e druk. Princeton Universiteit. Press, Princeton, NJ

Brasser R., 2001, MNRAS, 324, 1109 10.1046/j.1365-8711.2001.04400.x

Trap C., Zweibel EG, D'Onghia E., Gallagher JSI, Farber R., 2020, ApJ, 893, 29 10.3847/1538-4357/ab7fa3

Combes F. et al., 2019, A&A, 623, A79 10.1051/0004-6361/201834560

Cooper JL, Bicknell GV, Sutherland RS, Bland-Hawthorn J., 2008, ApJ, 674, 157 10.1086/524918

Deg N., Widrow L., 2013, MNRAS, 428, 912 10.1093/mnras/sts089

Fang X., Thompson TA, Hirata CM, 2018, MNRAS, 476, 4234 10.1093/mnras/sty472

Ford EB, Kozinsky B., Rasio FA, 2000, ApJ, 535, 385 10.1086/308815

Grishin E., Lai D., Perets HB, 2018, MNRAS, 474, 3547 10.1093/mnras/stx3005

Gronchi GF, Milani A., 1999, A&A, 341, 928

Haas J., ubr L., 2016, ApJ, 822, 25 10.3847/0004-637X/822/1/25

Haas J., Šubr L., Vokrouhlický D., 2011, MNRAS, 416, 1023 10.1111/j.1365-2966.2011.19100.x

Hammers AS , Portegies Black SF , 2016, MNRAS, 459, 2827 10.1093/mnras/stw784

Hamers AS , Perets HB , Antonini F. , Portegies Zwart SF , 2015, MNRAS, 449, 4221 10.1093/mnras/stv452

Hamilton C., Rafikov RR, 2019a, MNRAS, 488, 5489 10.1093/mnras/stz1730

Hamilton C., Rafikov RR, 2019b, MNRAS, 488, 5512 10.1093/mnras/stz2026

Heisler J., Tremaine S., 1986, Icarus, 65, 13 10.1016/0019-1035(86)90060-6

Higuchi A., Kokubo E., Kinoshita H., Mukai T., 2007, AJ, 134, 1693 10.1086/521815

Ito T. , Ohtsuka K. , 2019, Monografieën Milieu Earth Planets, 7, 1 10.5047/meep.2019.07701.0001

Iwasa M., Seto N., 2016, Phys. Rev. D, 93, 124024 10.1103/PhysRevD.93.124024

Iwasa M., Seto N., 2017, MNRAS, 472, 1600 10.1093/mnras/stx1926

Johnston KV, Spergel DN, Hernquist L., 1995, ApJ, 451, 598 10.1086/176247

Katz B., Dong S., Malhotra R., 2011, Phys. Rev. Lett., 107, 181101 10.1103/PhysRevLett.107.181101

Krasinsky GA, 1972, Celest. Mechanisch, 6, 60 10.1007/BF01237448

Lidov M. , 1961, Iskusstviennye Sputniki Zemli, 8, 5

Lidov M., 1962, Planeet. Ruimtewetenschap, 9, 719

Lidov ML, Ziglin SL, 1974, Celest. Mechanisch, 9, 151 10.1007/BF01260510

Lithwick Y., Naoz S., 2011, ApJ, 742, 94 10.1088/0004-637X/742/2/94

Liu B., Lai D., 2019, MNRAS, 483, 4060 10.1093/mnras/sty3432

Liu T., Xu X.-Q. , Liao X.-H. , 2020, ApJ, 901, 170 10.3847/1538-4357/abb135

Miyamoto M., Nagai R., 1975, PASJ, 27, 533

Murray CD, Dermott SF, 1999, Solar System Dynamics. Cambridge Universiteit. Pers, Cambridge

Naoz S., 2016, ARA&A, 54, 441 10.1146/annurev-astro-081915-023315

Naoz S., Farr WM, Lithwick Y., Rasio FA, Teyssandier J., 2011, Nature, 473, 187 10.1038/nature10076

Naoz S., Farr WM, Lithwick Y., Rasio FA, Teyssandier J., 2013, MNRAS, 431, 2155 10.1093/mnras/stt302

Rojas-Niño A. , Read JI , Aguilar L. , Delorme M. , 2016, MNRAS, 459, 3349 10.1093/mnras/stw846

Salem M., Besla G., Bryan G., Putman M., van der Marel RP, Tonnesen S., 2015, ApJ, 815, 77 10.1088/0004-637X/815/1/77

Sameie O., Creasey P., Yu H.-B. , Verkoop LV , Vogelsberger M. , Zavala J. , 2018, MNRAS, 479, 359 10.1093/mnras/sty1516

Schneider EE, Robertson BE, 2018, ApJ, 860, 135 10.3847/1538-4357/aac329

Smith R., Flynn C., Candlish GN, Fellhauer M., Gibson BK, 2015, MNRAS, 448, 2934 10.1093/mnras/stv228

Sridhar S., Touma J., 1999, MNRAS, 303, 483 10.1046/j.1365-8711.1999.02218.x

Šubr L., Karas V., 2005, A&A, 433, 405 10.1051/0004-6361:20042089

Terquem C., Ajmia A., 2010, MNRAS, 404, 409 10.1111/j.1365-2966.2010.16295.x

Teyssandier J., Terquem C., Papaloizou JCB, 2013, MNRAS, 428, 658 10.1093/mnras/sts064

Vasiliev E., Merritt D., 2013, ApJ, 774, 87 10.1088/0004-637X/774/1/87

Vokrouhlicky D., Karas V., 1998, MNRAS, 298, 53 10.1046/j.1365-8711.1998.01564.x

von Zeipel H., 1910, Astron. Nachr., 183, 345 10.1002/asna.190918320202

Oxford University Press is een afdeling van de Universiteit van Oxford. Het bevordert de doelstelling van excellentie van de universiteit in onderzoek, wetenschap en onderwijs door wereldwijd te publiceren

Log in of maak een account aan

Deze pdf is alleen beschikbaar voor abonnees

Voor volledige toegang tot deze pdf logt u in op een bestaand account of koopt u een jaarabonnement.